d - - (d"-F(dJ - M(dj\ = s

= A0-(l-F(Ao)) + M(A0). (2.Ю4)

Изменению величины порога рентабельности предприятия дЛ0 соответствует изменение каждой границы байесовского интервала

(d_ + Sd_) - - ((d^+Sd_)-F(d_+Sd__) - M(d_+5d__)) = = (X0+5l0)\l-F(l0+Sl0)) + MfAg + S^) . (2.Ю5)

По теореме Лагранжа о среднем значении [21] имеем:

F(d_ + 6dJ = F(dJ + f(^)-Sd^ , (2.106)

M(d_ +SdJ = M(dJ + 42-f(42)-Sd_ , (2.Ю7)

F(2b+5\) = F(l0)+f(§) ¦ , (2. Ю8)

M(l0+SX0) = - с2-109)

где значения и %2 находятся в интервале между и + , а значения

Подставим в (2.105) разложения (2.106) -(2.109)

Отсюда

d - - {d_-F(d")-M(dj)+Sd - - (dj(^)+ s s

+ F(dJ+f = X0-(1-F(^))+M(?i)) +

+{l-F(X0)-f(^)SX0~X0m3)+^4m4))5Xl)

i--{dj(&+F(dj-&m)) - -том.л

s s J

= {i-F(b)-b№)+$№h№)8h№ • (2л10)

Обозначим

S

k2= - -Щ)

к} = l-F(\,)-\f ($) + &($),

К = -f($) ¦

Тогда из (2.110)

lim k, = lim

r 1+s

l--{dJ(^,)+F(dJ~^f(^j)

= l- - -(d_f(dJ+F(dJ-d_f(dj) = s

= l--AF(d ); s

( 1+s Л 1+4

lim к, = lim - -m)\ = - -f(dj;

S^O Z 8d-+0 \ s J s

lim k, = lim (7-F(V-VY§;+6/Y6>0 =

= l-Faj-waj+wao) = I-F(\)-,

limk4 = lim (-/(%)) = -f(\)-

С учетом (2.112) - (2.115) предел (2.111)

/• k,+k7sd" i--p(d~)

lim = lim -л = -

Таким образом

и из (2.103) следует, что величины

Качественное изменение статистического прогноза в ситуации выбора рис. 17 показано на рис. 23. Для того, чтобы малое отклонение ЗЯ0 повлекло за собой изменение оптимального статистического вывода на противоположный необходимо р\ min = р2 , то есть апостериорные риски альтернативных бизнес-решений будут практически равными и в среднем это не приведет к существенному росту возможных потерь.

Как показывает проведенное исследование количественных аспектов робастности, малые отклонения от истинных параметров разработанной эко

номико-математической модели ухудшают качество статистических решений для бизнес-планирования в столь же малой степени.

Таким образом, на основе байесовского подхода разработана прикладная статистическая методология принятия оптимальных бизнес-решений, в отличие от классической статистики логически увязанная с теорией экономического анализа и задачами эффективного бизнес-планирования малых предприятий.

Глава 3. МЕТОДИКА И РЕЗУЛЬТАТЫ СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСГШТАНИЙ ФОРМАЛИЗОВАННЫХ РЕШАЮЩИХ ПРОЦЕДУР

ЗЛ. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОБЛЕМНЫХ СИТУАЦИЙ БИЗНЕС-ПЛАНИРОВАНИЯ

Целью экспериментальных исследований, проведенных при изучении поставленных в диссертации задач, является выявление статистических преимуществ разработанной байесовской решающей процедуры по сравнению с аналогичной процедурой, основанной на методах классической статистики. Как отмечает Дж. Мэйндоналд для подобных задач, собственно вычисление здесь представляет единственно возможный эксперимент, служащий окончательным судьей теоретических изысканий [70].

Блок-схема алгоритма исследуемой байесовской решающей процедуры укрупненно представлена на рис. 24. Ее программная реализация выполнена в среде Microsoft Quick. Basic (Приложение 1). Алгоритм соответствующей процедуры, построенной на выводах классической статистики, показан на рис. 25. Для сравнения качества получаемых бизнес-оценок применялся метод стохастической имитации Монте-Карло [13,14,91]. Была разработана и реализована на ЭВМ специальная стохастическая имитационная процедура [73] (Приложение 2). Для проведения корректного сравнения байесовских и классических статистических оценок их вычисление производилось на одних и тех же случайных выборках [59].

Модульными процедурами типа Function F(X) и М(Х) организованы вычисления зависимостей (2.87) и (2.90) соответственно. Применялись такие типовые приемы алгоритмизации как накопление суммы и накопление произведения по рекуррентным зависимостям посредством циклических вычислительных процессов [22]. При численном решении трансцендентных уравнений

[ Начало

Л

Ввод: ^Xt, п, Ло, Sj

Найти Лотах :

р2 (^OmaJ = Pi (do)

Конец

Рис. 24. Алгоритм байесовской статистической решающей процедуры

Начало

Ло max dc

Вывод: отвергнуть бизнес-план,

Ло max

Вывод: принять бизнес-план, оценка -dc

Конец

Рис. 25. Алгоритм классической статистической решающей процедуры

(2.93), (2.95) - (2.97) производилось выделение интервала нахождения корня с последующим уточнением значения корня методом дихотомии [35, 90].

Генерация последовательности случайных чисел Vt с равномерным распределением на интервале [0; 1] производилась по рекуррентной зависимости [107]

(3.1)

( Vi ^

+ 71

VZi + l J

где оператор D (У) обозначает взятие дробной части величины У;

Z.+ , = Z. + 1-Ю-8 ; 1+1 i '

V0 = и Zo = 0,011. С помощью зависимости (3.1) формировался ряд до 8,9-107 неповторяющихся нормированных случайных чисел с равномерным распределением, что достаточно для целей проводимых исследований.

Использовался алгоритм генерации случайных величин Xj по закону Пуассона (2.22) с параметром распределения Я [102]

X. = к,

J

где к - такое наименьшее целое число, что

-кЦ1п(1-Ъ) > Я.

i = 1

Статистические свойства решающих процедур объективно проявляются при рассмотрении эмпирических вероятностных распределений потерь, происходящих от применения соответствующих решений в ситуациях бизнес-планирования [32]. При многократном воспроизведении однородных опытов, исход которых случаен, средние характеристики потерь проявляли тенденцию к устойчивости и стабилизировались. Для оценки количества реализаций, необходимого для обеспечения точности эмпирических заключений, использовались закон больших чисел и центральная предельная теорема [12, 63].

Экспериментально изучались числовые характеристики положения центров группирования и степени вариации значений потерь. Относительными критериями эффективности применения байесовской процедуры по сравнению с аналогичной классической были приняты Мс / Мв - отношение математических ожиданий (средних значений) и Stc / StB - отношение стандартных отклонений распределений совокупных потерь СМП, соответствующих классической и байесовской решающим процедурам:

Mr ,"

-^ = m (Л л\, s, n) , (3.2) MB

St

-C = G(A , l,s, n), (3.3) St в

где n - объем повторной выборки X из распределения Пуассона с параметром Я . Кроме того, изучалась стохастическая взаимосвязь совокупных последствий использования исследуемых процедур

RCB = г (Х0, X,s ,п) (3.4)

Исследовались ситуации бизнес-планирования предприятий со значениями порога рентабельности Я0 - 2, 4, 6, 8, 10 заказов в день, характерные для малого предпринимательства [20].

Отдельно изучались смещения байесовских оценок (Приложение 3) в относительном и абсолютном выражении

Лв = A(X,s,n) (3.5)

Число прогонов имитационной модели для каждой конкретной совокупности (Я0, Я, s , п) и (Я, s , п) определялось с применением неравенства Чебышева, объемы выборки п = 5, 10, 15, 20, 25.

Характерный вид экспериментальных зависимостей (3.2) и (3.3) приведен на рис. 26 - 29, полученных для значения порога рентабельности предприятия Я0 = 6 и значений параметра спроса Я = 5 и Я = 7. Анализ эмпирических данных (Приложение 4) показывает, что в условиях малых выборок экономическая эффективность применения байесовской решающей процедуры существенно выше чем аналогичной классической, по крайней мере, при сте-

Ю Ю СО Ю_ СМ Ю т- ю о

со" С\Г т-" о"

пенях риска от О до 70% . Совокупные потери СМП в среднем значительно уменьшаются с уменьшением допустимого риска при использовании для бизнес-планирования байесовской процедуры, а также заметно уменьшается разброс потерь относительно их средних значений (рис. 30).

Средний ущерб

Рис. 30. Иллюстрация к анализу экономических последствий применения классической и байесовской решающих процедур

Исследованиями зависимости (3.4) выявлен факт наличия положительной корреляционной связи (Ясв) между сравниваемыми потерями, что свидетельствует о совпадении тенденций изменения их индивидуальных значений. Степень тесноты статистической связи потерь, как правило, растет с ростом величины предпринимательского риска (рис. 31 - 32).

Преимущества байесовской решающей процедуры в сравнении с аналогичной классической проявляются наиболее отчетливо по мере уменьшения допускаемого предпринимательского риска и объема используемой выборки (рис. 33 - 35). Таким образом, установлена и экспериментально подтверждена эффективность практического использования статистических методик для

•

оценки уровня рентабельности малых предприятий автосервиса на этапе бизнес-планирования по обобщенной схеме применения: байесовский подход -при

Идея смещения статистической оценки параметра спроса в задачах бизнес-планирования проиллюстрирована на рис. 36. Характерный вид эмпирической зависимости смещения байесовской оценки (2.5) приведен на рис. 37 при X = 7 (Приложение 5). Смещение обнаруживает тенденцию к увеличению по мере уменьшения допустимого предпринимательского риска и объема используемой выборки (рис. 38 - 41), что в целом соответствует экономической логике бизнес-планирования.